Cho hình chóp SABCD có đáy ABC là tam giác đều và có SA=SB=SC=1. Tính thể tích lớn nhất $V_{\text{max}}$  của khối chóp đã cho.

Chọn A

Gọi H  là tâm của tam giác ABC  đều. Gọi E   là trung điểm của BC .

$SA=SB=SC\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$.

Đặt $AB=AC=BC=a>0$  .

$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4};AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AE=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Xét tam giác : SAH  .

$SH=\sqrt{1-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{9-3a^2}}{3}$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{9-3a^2}}{3}=\frac{a^2\sqrt{3-a^2}}{12}\left(0<a<\sqrt{3}\right)$

Xét $f\left(a\right)=\frac{a^2\sqrt{3-a^2}}{12};\left(0<a<\sqrt{3}\right).f^{\text{'}}\left(a\right)=\frac{6a-3a^3}{12\sqrt{3-a^2}}=0\iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ a=\sqrt{2}\\ a=-\sqrt{2}\end{array}\right.$