Gọi M  là trung điểm BC  Vì tam giác  ABC đều nên $AM\perp BC$  (1).

Mặt khác, tam giác SBC  cân tại S   nên  $SM\perp BC$(2).

Từ (1) và (2) ta có góc giữa hai mặt phẳng  $\left(SBC\right)$ và $\left(ABC\right)$  là $\widehat{SMA}$ .

Xét tam giác SAM  vuông tại A  có góc $\widehat{SMA}=45°$ .  Từ đó suy ra tam giác  SAM vuông cân tại A

và $AM=SA=a\sqrt{3}$

Gọi I  là trung điểm của BC . Vì tam giác ABC  đều nên   $BI=AM=a\sqrt{3}$

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}BI\perp AC\\ BI\perp SA\text{ (Vì }SA\perp \left(ABCD\right))\\ AC,SA\in \left(SAC\right)\end{array}\right.\Rightarrow BI\perp \left(SAC\right)$

Vậy $d\left(B;\left(SAC\right)\right)=BI=a\sqrt{3}.$