Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và SO=a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng

Chọn C

Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}CD\\ CD\subset \left(SCD\right)\\ CD\not\subset \left(SCD\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(SCD\right)$.

Do đó $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)$.

Gọi I  là trung điểm cạnh CD , ta có: $\left\{\begin{array}{l}CD\perp OI\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOI\right)$.

Gọi H là hình chiếu của O trên SI, ta có: $\left\{\begin{array}{l}OH\perp SI\\ OH\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)$.

Suy ra $d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OH$.

Xét trong tam giác SOI, có: $SO=a,OI=\frac{a}{2}$.

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{5}{a^2}\iff OH=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $d\left(AB,SC\right)=2OH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.