Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H trùng với trung điểm của AB, biết\(SH = a\sqrt 3 \). Gọi M là giao điểm của HD và AC. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
Xét ∆HAD, có AC là tia phân giác của góc \(\widehat {HAD}\)
\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{MD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{HD}}{{MD}} = \frac{3}{2}\]
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}H,\;M \in HD\\HM \cap \left( {SCD} \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{d\left( {H,\;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{MD}} = \frac{3}{2}\)
Gọi N là trung điểm của CD Þ HN ^ CD
Trong (SHN) từ H kẻ HK ^ SN (1), K Î SN
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HN\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow CD \bot HK\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) Þ HK ^ (SCD)
Khi đó: \(d\left( {H,\;\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{{SH\,.\,HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 \,.\,a}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow d\left( {M,\;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}:\frac{3}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)