Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $60°, BC=a\sqrt{3}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

Chọn A

(SAB) và (SAD) vuông góc với đáy nên $SA\perp \left(ABCD\right)$.

Ta có: $\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD, CD\perp \left(SAD\right), \left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)=AD$,

$\left(SAD\right)\cap \left(SCD\right)=SD$. Suy ra, góc giữa (SCD) và (ABCD) là $\widehat{SDA}$. Vậy $\widehat{SDA}=60°$.

$\left\{\begin{array}{l}AB\text{//}\left(SCD\right)\\ SC\subset \left(SCD\right)\end{array}\right.\Rightarrow d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(A,\left(SCD\right)\right)$.

Gọi H là hình chiếu của A trên SD.

Ta có: $AH\perp SD;AH\perp CD$ do $CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow AH\perp \left(SCD\right)$

$\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AH=AD\sin \widehat{ADS}=\frac{3a}{2}$.

Vậy $d\left(AB,SC\right)=\frac{3a}{2}$.