Chọn D

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=2f^{\text{'}}\left(2x-3\right)-\frac{2x}{1+x^2}-2m$

Để hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x-3\right)-\ln \left(1+x^2\right)-2mx$ nghịch biến trên $\left(\frac{1}{2};2\right)$

$\iff g^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(\frac{1}{2};2\right)\iff m\ge f^{\text{'}}\left(2x-3\right)-\frac{x}{1+x^2},\forall x\in \left(\frac{1}{2};2\right)$

Xét hàm số $h\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(2x-3\right)-\frac{x}{1+x^2},x\in \left(\frac{1}{2};2\right)$. Đặt $t=2x-3\Rightarrow t\in \left(-1;1\right)$

Khi đó ta xét hàm số $g\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)-\frac{\frac{t+3}{2}}{1+{\left(\frac{t+3}{2}\right)}^2}=f^{\text{'}}\left(t\right)-\frac{2t+6}{t^2+6t+13}$

Ta có $g^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)+\frac{2t^2+12t+14}{{\left(t^2+6t+13\right)}^2}$.

Từ đồ thị ta thấy được f'(t) đồng biến trên (-1;1) nên $f^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)>0,\forall t\in \left(-1;1\right)$ nên $g^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)+\frac{2t^2+12t+14}{{\left(t^2+6t+13\right)}^2}>0,\forall t\in \left(-1;1\right)$. Nên g(t) đồng biến trên (-1;1).

Nên $m\ge f^{\text{'}}\left(2x-3\right)-\frac{x}{1+x^2},\forall x\in \left(\frac{1}{2};2\right)\iff m\ge f^{\text{'}}\left(t\right)-\frac{2t+6}{t^2+6t+13},\forall t\in \left(-1;1\right)$