Chọn B

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+m=a\\ x^2-2x-m=b\end{array}\right.\Rightarrow 2x^2+2x-2=a+b-2$

Ta có:

$\begin{array}{l}{2}^{a+b-2}-2^a-2^b+4<0\iff 2^{a+b}-2^{a+2}-2^{b+2}+2^4<0\\ \iff 2^a\left(2^b-2\right)-2^2\left(2^b-2^2\right)<0\\ \iff \left(2^a-2^2\right)\left(2^b-2^2\right)<0\end{array}$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}a>2\\ b<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+m>2\\ x^2-2x-m<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x>2-m\\ x^2-2x<2+m\end{array}\right.$

Để phương trình có không quá 6 nghiệm nguyên thì: $-1<2+m<2\iff -3<m<0$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}a<2\\ b>2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+m<2\\ x^2-2x-m>2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x<2-m\\ x^2-2x>2+m\end{array}\right.$

Để phương trình có không quá 6 nghiệm nguyên thì:

$-4<2-m<-1\iff 1<m-2<4\iff 3<m<6$

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên có: 4 giá trị m thỏa mãn.