Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Đáp án đúng là: B

Có $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC$ mà $BC\perp AB$ nên $BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAB\right)$

Kẻ $AH\perp SB$ tại H trong (SAB).

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SBC\right)=SB\\ \text{Trong }\left(SAB\right),AH\perp SB\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)$.

Do đó $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Do vậy $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.