Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a . Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60° .Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD theo a.
Do (SBI) ⊥ (ABCD), (SCI) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD)
Kẻ IK ⊥ BC (K thuộc BC) ⇒ BC ⊥ (SIK) ⇒ \[\widehat {SKI} = {60^{\rm{o}}}\]
Diện tích hình thang ABCD bằng: 3a2
Tổng diện tích ∆ABI và ∆CDI bằng \[\frac{{3{a^2}}}{2}\]⇒ S∆IBC = \[\frac{{3{a^2}}}{2}\]
\[BC = \sqrt {{{\left( {AB - CD} \right)}^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \]
\[ \Rightarrow IK = \frac{{2{S_{\Delta IBC}}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt 5 a}}{5}\]
\[ \Rightarrow SI = IK.\tan \widehat {SKI} = \frac{{3\sqrt {15} a}}{5}\]
Thể tích khối chóp S.ABCD là: \[V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{{3\sqrt {15} {a^2}}}{5}\].