Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Tam giác SOA cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Gọi H là trung điểm của AO.
Tam giác SOA cân tại S có SH là đường trung tuyến.
Suy ra SH cũng là đường cao của tam giác SOA.
Do đó SH ⊥ OA.
Mà AO = (SAO) ∩ (ABCD).
Vì vậy SH ⊥ (ABCD).
Tam giác ABC vuông tại B: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\).
Suy ra \(CO = AO = \frac{{AC}}{2} = a\).
Khi đó \(OH = \frac{{AO}}{2} = \frac{a}{2}\).
Vì vậy \(CH = CO + OH = \frac{{3a}}{2}\).
Ta có H, C lần lượt là hình chiếu của S, C lên mặt phẳng (ABCD).
Suy ra HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và đáy là \(\left( {HC,SC} \right) = \widehat {SCH} = 60^\circ \).
Tam giác SCH vuông tại H: \(SH = CH.\tan \widehat {SCH} = \frac{{3a}}{2}.\tan 60^\circ = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{2}\).