Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, DC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN.
A. \[R = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\];
B. \[R = \frac{{a\sqrt {31} }}{4}\];
C. \[R = \frac{{a\sqrt {102} }}{6}\];
D. \[R = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\].
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm của MN. Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt đáy.
E là hình chiếu của I lên AB.
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.DMN. K là hình chiếu của O lên SH
Đặt OI = x.
Ta có DI = \[\frac{1}{2}MN = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\]. Suy ra:
• \[OD = \sqrt {I{D^2} + O{I^2}} = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{{16}} + {x^2}} \]
• SK = SH - x = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\], KO = HI;
• EI = \[\frac{{AM + HN}}{2} = \frac{{3a}}{2}\]
• \[HI = \sqrt {E{I^2} + H{E^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{4}\]
Do đó \[SO = \sqrt {S{K^2} + K{O^2}} = \sqrt {\frac{{49{a^2}}}{{16}} - a\sqrt 3 x + {x^2}} \]
Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:
SO = DO Þ \[\frac{{49{a^2}}}{{16}} - a\sqrt 3 x + {x^2} = {x^2} + 5a\]
Þ x = \[\frac{{11a}}{{4\sqrt 3 }}\]Þ R = OD = \[\frac{{a\sqrt {102} }}{6}\].