Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tamgiác đều cạnh a; SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB; SC. Tính diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, K, H.
Gọi AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\;\left( {gt} \right)\\AH \bot DB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\)
Suy ra AH ^ HD (2)
Chứng minh tương tự ta được: AK ^ KD (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra 5 điểm A B, C, H, K cùng nằm trên mặt cầu đường kính AD.
Gọi O là trung điểm của AD, ta có:
\(R = AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) (vì ∆ABC là tam giác đều có cạnh là a0
Vậy diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, H, K là:
\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{4\pi {a^2}}}{3}.\)