Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC
828
20/11/2023
Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;
b) SB ⊥ (CHK) và HK ⊥ (SBC).
Trả lời

a) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH,
mà SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Do đó BC ⊥ (SAH).
Gọi M là giao điểm của AH và BC, ta có BC ⊥ (SAM) nên BC ⊥ SM.
Mặt khác, K là trực tâm của tam giác SBC nên SM đi qua K.
Do đó AH, BC, SK đồng quy.
b) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ CH, mà CH ⊥ AB, suy ra CH ⊥ (SAB).
Do đó CH ⊥ SB.
Lại có SB ⊥ CK nên SB ⊥ (CHK).
Xét tam giác SBC, K là trực tâm nên BK ⊥ SC.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BH mà BH ⊥ CA nên BH ⊥ (SAC), suy ra BH ⊥ SC.
Vì BK ⊥ SC và BH ⊥SC nên SC ⊥ (BHK), suy ra SC ⊥ HK.
Mà SB ⊥ HK (vì SB ⊥ (CHK)). Do đó HK ⊥ (SBC).
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: