Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) ,$AB=a,BC=a\sqrt{3},SA=a$ . Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  qua A vuông góc SC tại H và SB cắt tại K . Tính thể tích khối chóp SAHK theo .

Chọn C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AK\perp SC\left(SC\perp \left(\alpha \right)\right)\\ AK\perp BC\left(BC\perp \left(SAB\right)\right)\end{array}\right.$ , suy ra $AK\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AK\perp SB$

Vì $\Delta SAB$  vuông cân tại A   nên là trung điểm của K. Ta có:

$\frac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA.SK.SH}{SA.SB.SC}=\frac{SH}{2SC}$. Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=2a$

$SC=\sqrt{A{C}^2+S{A}^2}=a\sqrt{5}$, khi đó $\frac{SH}{SC}=\frac{SH.SC}{S{C}^2}=\frac{S{A}^2}{S{C}^2}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}}=\frac{SH}{2SC}=\frac{1}{10}$, lại có $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

Vậy $V_{S.AHK}=\frac{a^3\sqrt{3}}{60}$ .