Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy và AB=a . Biết góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABC)

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy và AB=a . Biết góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABC) là ${30}^0$. Tính thể tích khối chóp SABC?

A. $\frac{a^3}{18}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{18}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{18}.$

Trả lời

Trong $∆ABC$ có: $AB\perp BC$. Lại có: $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC$.

Suy ra: $BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB$.

Vậy góc góc tạo bởi mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AB và SB và là góc $\widehat{SBA}={30}^0$.

Ta có: $SA=AB.\tan \widehat{SBA}=a.\tan {30}^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Khối chóp SABC có đáy là $\Delta ABC$, chiều cao SA có thể tích là:

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{18}.$