Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng d đi qua A cắt đường chéo BD tại P, cắt các đường thẳng BC và CD lần lượt là M và N. Chứng minh \[\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = \frac{1}{{AP}}\].
Ta có: AD // BC
\[ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AM}} = \frac{{DP}}{{DB}} = \frac{{DP}}{{DP + PB}}\] (định lý Ta-let) (1)
AB // DN
\[ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{BP}}{{BD}} = \frac{{BP}}{{BP + PD}}\] (định lý Ta-let) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \[\frac{{AP}}{{AM}} + \frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{DP + BP}}{{BP + PD}} = 1\]
\[ \Leftrightarrow AP\left( {\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = \frac{1}{{AP}}\] (đpcm)
Vậy \[\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = \frac{1}{{AP}}\].