Cho hình bình hành ABCD có \[\widehat A = \;\alpha \; > \;90^\circ \]. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
Ta có: \(\widehat {BAD} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía bù nhau)
\( \Rightarrow \widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - \alpha \)
\(\widehat {CDF} = \widehat {ADC} + \widehat {ADF} = 180^\circ - \alpha + 60^\circ = 240^\circ - \alpha \)
Suy ra: \(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\)
Xét ∆AEF và ∆DCF:
AF = DF (Vì ∆ADF đều)
AE = DC (vì cùng bằng AB)
\(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\) (chứng minh trên)
Do đó: ∆AEF = ∆DCF (c.g.c) Þ EF = CF (1)
\(\widehat {CBE} = \widehat {ABC} + 60^\circ = 180^\circ - \alpha + 60^\circ = 240^\circ - \alpha \)
Xét ∆BCE và ∆DFC: BE = CD ( vì cùng bằng AB)
\(\widehat {CBE} = \widehat {CDF} = 240^\circ - \alpha \)
BC = DF (vì cùng bằng AD)
Do đó ∆BCE = ∆DFC (c.g.c) Þ CE = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF = CF = CE
Vậy ∆ECF đều.