Cho hình bình hành ABCD, AB = 2AD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác APQD là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là giao điểm AQ và PD, gọi K là giao điểm của BQ và CP. Chứng minh tứ giác IPKQ là hình chữ nhật.
a) Xét tứ giác APQD có: AP // QD; AP = QD
Suy ra tứ giác APQD là hình bình hành
Mà AP = AD nên APQD là hình thoi
b) Xét tứ giác PBQD có: PB // QD; PB = QD
Suy ra tứ giác PBQD là hình bình hành
Do đó PD // QB và PD = QB (1)
Xét tứ giác BPQC có: BP // QC; BP = QC
Suy ra tứ giác BPQC là hình bình hành
Mà BP = BC nên BPQC là hình thoi
Nên PC và QB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hay K là trung điểm của BQ.
Do đó \(KQ = \frac{{BQ}}{2}\) (2)
Ta có: APQD là hình thoi
Nên AQ và PD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra I là trung điểm của PD
Do đó \(IP = \frac{{PD}}{2}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra IP // QK và IP = QK.
Hay IPKQ là hình bình hành.
Mà \(\widehat {PIQ} = 90^\circ \) nên IPKQ là hình chữ nhật.