Cho hàm số f(x) = (2x - 3)/(x + 4) có đồ thị (C). Tìm đạo hàm của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –3

Bài 49 trang 79 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x+4}$ có đồ thị (C)

a) Tìm đạo hàm của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –3.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1.

Trả lời

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x+4}.$ Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{2x-3}{x+4}\right)}^{\text{'}}=\frac{2\left(x+4\right)-\left(2x-3\right)\cdot 1}{{\left(x+4\right)}^2}=\frac{11}{{\left(x+4\right)}^2}.$

b) Với x = –3 ta có $y=\frac{2\cdot \left(-3\right)-3}{-3+4}=\frac{-9}{1}=-9$ và $f^{\text{'}}\left(-3\right)=\frac{11}{{\left(-3+4\right)}^2}=11.$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –3 là:

y = f’(–3)[x – (–3)] + f(–3)

Hay y = 11.(x + 3) – 9, tức là y = 11x + 24.

c) Gọi M(x₀; 1) là tiếp điểm của đồ thị (C) có tung độ bằng 1.

Khi đó $\frac{2x_0-3}{x_0+4}=1\iff 2x_0-3=x_0+4\iff x_0=7.$ Suy ra M(7; 1).

Với x₀ = 7, ta có $f^{\text{'}}\left(7\right)=\frac{11}{{\left(7+4\right)}^2}=\frac{1}{11}.$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 là:

y = f’(7).(x – 7) + 1

Hay $y=\frac{1}{11}\left(x-7\right)+1,$ tức là $y=\frac{1}{11}x+\frac{4}{11}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: