Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $f\left(x\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}x=a\in \left(-\infty ;-2\right)\\ x=b\in \left(-2;1\right)\\ x=c\in \left(1;+\infty \right)\end{array}\right.$.

Do đó $f\left(3x^4-6x^2+1\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}3x^4-6x^2+1=a\text{ (}1\text{)}\\ 3x^4-6x^2+1=b\text{ (}2\text{)}\\ 3x^4-6x^2+1=c\text{ (}3\text{)}\end{array}\right.$

Xét hàm số $g\left(x\right)=3x^4-6x^2+1$

Có $g\text{'}\left(x\right)=12x^3-12x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=0\\ x=1\end{array}\right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, có:

- Phương trình vô nghiệm.

- Phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.

- Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm.