Chọn D

Đáp án A sai, ví dụ hàm số $y=x^4$ đạt cực trị tại $x=0$ nhưng $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$.

Đáp án B sai, ví dụ hàm số $y=\left|x\right|$ đạt cực tiểu tại $x=0$ nhưng không tồn tại $f^{\text{'}}\left(0\right)$. 

Đáp án C sai, ví dụ hàm số $y=x^2$ đạt cực tiểu tại $x=0$ và $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$.

Đáp án D đúng.