Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đồ thị  $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ như hình bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^3+3x^2\right)+2020$  là

Chọn A

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(3x^2+6x\right).f^{\text{'}}\left(x^3+3x^2\right)$ .

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left(3x^2+6x\right).f^{\text{'}}\left(x^3+3x^2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}3x^2+6x=0\\ f^{\text{'}}\left(x^3+3x^2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\\ f^{\text{'}}\left(x^3+3x^2\right)=0\left(*\right)\end{array}\right.$.

$\left(*\right)\iff \left[\begin{array}{l}{x}^3+3x^2=a\left(a<0\right)\\ x^3+3x^2=0\\ x^3+3x^2=4\\ x^3+3x^2=b\left(b>4\right)\end{array}\right.$

Ta có $x^3+3x^2=0\iff x^2\left(x+3\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\end{array}\right.$  .

Ta có $x^3+3x^2=4\iff \left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$ .

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3+3x^2$ , có $h^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$ .

Bảng biến thiên của hàm :

Dựa vào bảng biến thiên của hàm $h\left(x\right)$ , ta có:

Phương trình $x^3+3x^2=a\left(a<0\right)$  có duy nhất một nghiệm (nghiệm đơn) $x_1<-3$ .

Phương trình $x^3+3x^2=b\left(b>4\right)$  có duy nhất một nghiệm (nghiệm đơn) $x_2>1$ .

Do đó, phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có 4 nghiệm đơn phân biệt là $x=x_1<-3,x=-3,x=1,x=x_2>1$  và 2 nghiệm bội 3 là $x=-2,x=0$ nên hàm số  $g\left(x\right)$  có 6 điểm cực trị.