Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm m để hàm số  $y=\frac{f\left(x\right)-1}{f\left(x\right)-m}$  đồng biến trên $\left(-1;1\right)$ .

Xét hàm số: $y=\frac{f\left(x\right)-1}{f\left(x\right)-m}$  trên $\left(-1;1\right)$

Đặt $f\left(x\right)=t$

Từ đồ thị hàm số ta thấy với $x\in \left(-1;1\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in \left(-1;3\right)\Rightarrow t\in \left(-1;3\right)$

Ngoài ra, trên $\left(-1;1\right)$  hàm số $y=f\left(x\right)$   nghịch biến.

Khi đó, yêu cầu bài toán ban đầu trở thành

Tìm m để hàm số $y=g\left(t\right)=\frac{t-1}{t-m}$  nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$

Xét hàm $g\left(t\right)=\frac{t-1}{t-m}$  có tập xác định là: $ℝ\backslash \left\{m\right\}$

Để hàm số $y=g\left(t\right)=\frac{t-1}{t-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(t\right)<0\\ m\notin \left(-1;3\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-m+1}{{\left(t-m\right)}^2}<0\\ \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ m\ge 3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ m\ge 3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m\ge 3$