Cho hàm số: y = x^4 + 2mx^2 + m^2 + m (1) ( m là tham số). Xác định m để hàm số

Đề bài: Cho hs: y = x⁴ + 2mx² + m² + m (1) ( m là tham số). Xác định m để hs (1) có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành 1 tam giác có góc bằng 120 độ.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:
y′ = 4x³ + 4mx = 4x(x² + m)

Hàm số (1) có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với:
m < 0,   (2)
Với điều kiện (2), đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là :

$A\left(0;m^2+m\right),B\left(-\sqrt{-m};m\right),C\left(\sqrt{-m};m\right)$

Dễ thấy tam giác ABC là tam giác cân tại A. Do đó $\widehat{A}=120°$. Từ đó suy ra $\widehat{ABC}=30°$. Yêu cầu của bài toán tương đương với:

$\tan \widehat{ABC}=\frac{\left|y_A-y_B\right|}{\left|x_B\right|}\iff \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{m^2}{\sqrt{-m}}\iff m=-\frac{1}{3}$

$m=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn (2) nên đó là đáp án của bài toán