Cho hàm số y = −x³ + (2m + 1)x² − (m² − 3m + 2)x − 4 (Cm). (Với m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

a) Với m = 1 ta có: y = −x³ + 3x² − 4 (Cm)

TXĐ: D =ℝ

\[{\lim _{x \to \pm \infty }}y = \pm \infty \]

\(y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số nhận (1; −2) làm tâm đối xứng và đi qua hai điểm (0; −4) và (2; 0).

b) Ta có: y¢ = −3x² + 2(2m + 1)x − (m² − 3m + 2)

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y¢ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra m² − 3m + 2 < 0 Û 1 < m < 2

Vậy m Î (1; 2)