Cho hàm số $y=\left|x^2+2x+a-4\right|$ . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[-2;1\right]$  đạt giá trị nhỏ nhất ?

Chọn C

+ Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x+a-4$ , ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2,f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=-1$ .

$f\left(-2\right)=a-4$,$f\left(-1\right)=a-5$ , $f\left(1\right)=a-1$.

+ Do $a-5<a-4<a-1$  nên giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|x^2+2x+a-4\right|$  bằng $\max \left\{\left|a-1\right|;\left|a-5\right|\right\}$  nên có 3 trường hợp xảy .

TH1:  Nếu $\left|a-1\right|>\left|a-5\right|\iff {\left(a-1\right)}^2>{\left(a-5\right)}^2\iff 8a>24\iff a>3$   thì

       $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }y=y\left(1\right)=\left|a-1\right|>2$ .

TH2: Nếu $\left|a-1\right|<\left|a-5\right|\iff {\left(a-1\right)}^2<{\left(a-5\right)}^2\iff 8a<24\iff a<3$  thì

      $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=\left|a-5\right|>2$ .

TH3: Nếu $\left|a-1\right|=\left|a-5\right|\iff {\left(a-1\right)}^2={\left(a-5\right)}^2\iff 8a=24\iff a=3$   thì

     $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=y\left(1\right)=2$ .

Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[-2;1\right]$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=3$.