Cho hàm số $y=\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$ . Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$  có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{1;2\right\}$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{4}{x^2}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)}=1$; tương tự$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=1$  nên đường thẳng y=1  là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=-\infty$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=+\infty$  nên đường thẳng x=1   là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .$y=f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=4$ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=4$  nên đường thẳng x=2  không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Do đó đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  có hai tiệm cận