Cho hàm số $y=\frac{x\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)}{x^2+2x+1}$ có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Chọn C

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)}{x^2+2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=1$.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)}{x^2+2x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=-1$.

Suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y=1 và y=-1.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)}{x^2+2x+1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+2x+1\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}=+\infty$.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{x\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)}{x^2+2x+1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+2x+1\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}=-\infty$.

Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm đứng là x=-1.

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.