Cho hàm số $y=\frac{mx+8}{x+2m}$ (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-2020;2020\right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$

Chọn A

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-2m\right\}$.

$y^{\text{'}}=\frac{2m^2-8}{{\left(x+2m\right)}^2}.$

Hàm số $y=\frac{mx+8}{x+2m}$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ $\iff y^{\text{'}}=\frac{2m^2-8}{{\left(x+2m\right)}^2}>0,\forall x\in \left(2;+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2m^2-8>0\\ -2m\notin \left(2;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m^2-8>0\\ -2m\le 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-2\\ m>2\end{array}\right.\\ m\ge -1\end{array}\right.\iff m>2$.

Kết hợp điều kiện $m>2$ với m nguyên và m thuộc đoạn $\left[-2020;2020\right]$ ta được $m\in \left\{3;4;5;\mathrm{....};2020\right\}$.

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.