Cho hàm số $y=m{x}^4+\left(3m-1\right)x^2+5$  (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y={\left(f\left(3x+1\right)\right)}^2$  đồng biến trên R. Số phần tử của S là

Đáp án đúng là: A

Đặt $g\left(x\right)={\left(f\left(3x+1\right)\right)}^2\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=2f\left(3x+1\right)\mathrm{.3.}{f}^{\text{'}}\left(3x+1\right)=6f\left(3x+1\right).f^{\text{'}}\left(3x+1\right)$ .

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\left(3x+1\right).f^{\text{'}}\left(3x+1\right)=0\left(1\right)$.

Đặt $t=3x+1$  thì (1) trở thành

$\left[m{t}^4+\left(3m-1\right)t^2+5\right].\left[4m{t}^3+2\left(3m-1\right)t\right]=0$

$\iff \left[m{t}^4+\left(3m-1\right)t^2+5\right].\left[2m{t}^2+\left(3m-1\right)\right].t=0$

Để hàm số g(x) đồng biến trên R thì điều kiện cần là phương trình $h\left(t\right)=\left[m{t}^4+\left(3m-1\right)t^2+5\right].\left[2m{t}^2+\left(3m-1\right)\right]=0$  có nghiệm  t = 0 $\Rightarrow m=\frac{1}{3}$ .

Thử lại với $\Rightarrow m=\frac{1}{3}$  ta có, $h\left(t\right).t=\left(\frac{1}{3}{t}^4+5\right)\left(\frac{2}{3}{t}^2\right).t$  đổi dấu khi qua t = 0.

Do đó hàm số g(x) không đồng biến trên R.

Vậy không tồn tại tham số m để hàm số g(x) đồng biến trên R.