Cho hàm số y =f(x) xác định, liên tục có đạo hàm trên đoạn $\left[a;b\right]$ (với $a<b$). Xét các khẳng định sau:

(I). Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).

(II). Giả sử $f\left(a\right)>f\left(c\right)>f\left(b\right),\forall c\in \left(a;b\right)$ suy ra hàm số nghich biến trên (a;b).

(III). Giả sử phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm x =m. Khi đó nếu hàm số f(x) đồng biến trên (m;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a;m).

(IV). Nếu hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(a;b\right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Chọn C.

(I). Sai, vì: Thiếu điều kiện $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$  chỉ tại một số hữu hạn điểm.

(II). Sai.

(III). Sai, ví dụ: Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-x^2+x-5$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-2x+1$. Cho $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x^2-2x+1\iff x=1$.

Khi đó phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm $x_0=1$ nhưng đây là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua $x_0=1$.

(III). Sai.

Sửa lại cho đúng nếu hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a;b\right)$

Vậy có 1 mệnh đề đúng.