Cho hàm số y = f( x ) có đồ thị trên [ - 2;6] như hình vẽ bên. Biết các miền A, B, x = 2 có diện tích lần lượt là 32; 2; 3. Tích phân limits - 2^2 [ f( 2x + 2) + 1]dx  bằng A. 45/2. B. 41.

Trả lời

Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} + 4\)

Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x + 2 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{2}\)

Đổi cận: \(x = - 2 \Rightarrow t = - 2\); \(x = 2 \Rightarrow t = 6\).

Suy ra \({I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^6 {f\left( t \right)dt} \).

Gọi \({x_1}\); \({x_2}\) là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trực hoành \[\left( { - 2 < {x_1} < {x_2} < 6} \right)\] . Ta có

\[\begin{array}{l}{I_1} = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 2}^{{x_1}} {f\left( t \right)df} + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f\left( t \right)df} + \int\limits_{{x_2}}^6 {f\left( t \right)df} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{S_A} - {S_B} + {S_C}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {32 - 2 + 3} \right) = \frac{{33}}{2}\end{array}\]

Vậy \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = {I_1} + 4 = \frac{{33}}{2} + 4 = \frac{{41}}{2}\)

Chọn D.