TXĐ: D=R .

Ta có $y^{\text{'}}=x^2-2x+m-2$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

$\iff x^2-2x+m-2\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff m\ge -x^2+2x+2,\forall x\in \left(0;+\infty \right)$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=-x^2+2x+2;g\text{'}\left(x\right)=-2x+2=0\iff x=1$

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ BBT $\Rightarrow m\ge g\left(x\right),\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff m\ge \underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }g\left(x\right)\iff m\ge 3$

KL: $m\ge 3$  thì hàm sô đã cho đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ .