Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4-\left(m+2\right)x^3+mx+3$. Trong trường hợp giá trị nhỏ nhất của f(x) đạt giá trị lớn nhất, hãy tính f(3)?

Chọn D

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-3\left(m+2\right)x^2+m$

Với mọi giá trị của tham số m, ta luôn có: $f\left(1\right)=1-\left(m+2\right)+m+3=2$.

Khi đó $\min f\left(x\right)\le 2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2.

Mặt khác ta lại có: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ và hàm số liên tục trên R nên giá trị nhỏ nhất đạt được tại điểm cực trị của hàm số hay $f^{\text{'}}\left(1\right)=0\iff 4-3\left(m+2\right)+m=0$

$\iff 4-3m-6+m=0\iff m=-1$

Với $m=-1$, ta có: $f\left(x\right)=x^4-x^3-x+3$, $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-3x^2-1=\left(x-1\right)\left(4x^2+x+1\right)$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left(x-1\right)\left(4x^2+x+1\right)=0\iff x=1$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ , $f\left(1\right)=2$suy ra: $\min f\left(x\right)=2$ thỏa mãn.

Vậy $m=-1$ ta có $f\left(3\right)=54$.