Cho hàm số f(x) xác định trên R/(-1;1) và thỏa mãn: f'(x)=1/x^2-1. Biết rằng

Cho hàm số f(x) xác định trên R/(-1;1) và thỏa mãn: f'(x)=1/x^2-1. Biết rằng

40 22/04/2024

Cho hàm số f(x) xác định trên

ℝ \ \{- 1; 1\}

và thỏa mãn:

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}

. Biết rằng

f (- 3) + f (3) = 0

và

f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2

. Tính

T = f (- 2) + f (0) + f (4)

.

Trả lời

Ta có:

f (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} . \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} . \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C

Với

x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)

:

f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C_{1}

.
Mà

f (- 3) + f (3) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} . \ln |\frac{- 3 - 1}{- 3 + 1}| + C_{1} + \frac{1}{2} \ln |\frac{3 - 1}{3 + 1}| + C_{1} = 0

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 2 + C_{1} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{1} = 0 \Leftrightarrow C_{1} = 0

.
Do đó với

x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) : f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| \Rightarrow f (- 2) = \frac{1}{2} \ln 3; f (4) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{5}

.
Với

x \in (- 1; 1)

:

f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C_{2}

.
Mà

f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} . \ln |\frac{- \frac{1}{2} - 1}{- \frac{1}{2} + 1}| + C_{2} + \frac{1}{2} . \ln |\frac{\frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} + 1}| + C_{2} = 2

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 3 + C_{2} + \frac{1}{2} \ln 3 + C_{2} = 2 \Leftrightarrow C_{2} = 1

.
Do đó với

x \in (- 1; 1) : f (x) = \frac{1}{2} . \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + 1 \Rightarrow f (0) = 1

.
Vậy

T = f (- 2) + f (0) + f (4) = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}

.

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

Câu hỏi cùng chủ đề

Đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2018 gồm 50 câu trắc nghiệm và mỗi câu có

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

64 7 tháng trước

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1) và B(2;1;0). Khi điểm N di động

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

69 7 tháng trước

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= căn (m+1)x+1/mx+1 không

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

64 7 tháng trước

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với (ABC), AB = AC = 3 cm,

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

69 7 tháng trước

Cho số thực m thỏa mãn điều kiện tích phân từ 0 đến m sinxdx+3cosm=0

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

59 7 tháng trước

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng alpha có phương trình 2x - y + z = 0

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

66 7 tháng trước

Tìm hệ số của số hạng chứa x^ trong khai triển biểu thức (P) = (2x-1)(1+x)^12

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

77 7 tháng trước

Khối trụ (T1) có bán kính đáy bằng R1 cm , chiều cao bằng h1 cm và thể tích bằng

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

62 7 tháng trước

Cho F(x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khẳng định nào dưới đây sai

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

55 7 tháng trước

Cho hàm số y=4-2x/4m+2m^2+x, với m là tham số. Gọi M là tập hợp tất

Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

72 7 tháng trước

Xem tất cả