Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x-3+\sqrt{x^2-3}}{x^2-x-2}$. Kết luận nào sau đây về số tiệm cận của đồ thị hàm số là đúng?

Chọn B

Tập xác định của hàm số là $D=\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right]\cup \left[\sqrt{3};+\infty \right)\backslash \left\{2\right\}$.

Hàm số không xác định khi $x\to -1^{\pm }$ nên không tồn tại $\underset{x\to -1^{\pm }}{\lim }f\left(x\right)$.

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-3+\sqrt{x^2-3}}{x^2-x-2}\underset{x\to 2}{=\lim }\frac{x-3+\sqrt{x^2-3}}{x^2-x-2}\underset{x\to 2}{=\lim }\frac{x-2+\sqrt{x^2-3}-1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\\ \underset{x\to 2}{=\lim }\frac{1}{\left(x+1\right)}+\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2-3}+1\right)}=1.\end{array}$

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Mặt khác, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\sqrt{\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^4}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=0$ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang  y=0 . Vậy phương án B đúng.