Cho hàm số f( x ) xác định trên R { - 1;1}, thỏa mãn f'( x ) = 2/x^2 - 1; f( - 3) + f( 3 ) = 2ln 2 và f( - 1/2) + f( 1/2) = 0. Giá trị của biểu thức P = f( - 2) + f( 0 ) + f( 4 ) là: A. 2ln
45
19/04/2024
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:
A. \[2\ln 2 - \ln 5\]
B. \[6\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]
C. \[2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]
D. \[6\ln 2 - 2\ln 5\]
Trả lời
Hướng dẫn giải
\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C\]
Hay \[f\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_1}\;khi\;x > 1\\\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} + {C_2}\;khi\; - 1 < x < 1\\\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_3}\;khi\;x < - 1\end{array} \right.\]
Theo bài ra, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\\f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} + {C_3} = 2\ln 2\\{C_2} = 0\end{array} \right.\]
Do đó \[f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right) = \ln 3 + {C_3} + {C_2} + \ln \frac{3}{5} + {C_1} = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\].
Chọn C.
