Cho hàm số f( x ) có đạo hàm xác định trên R thỏa mãn f( 0 ) = 2 căn bậc hai của 2 ,f( x ) > 0 và f( x ).f'( x ) = ( 2x + 1) căn bậc hai của1 + f^2 ( x ) , x R Giá trị f( 1 ) là: A. 6 căn bậ
62
19/04/2024
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0\] và \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Giá trị \[f\left( 1 \right)\] là:
A. \[6\sqrt 2 \]
B. \[\sqrt {10} \]
C. \[5\sqrt 3 \]
D. \[2\sqrt 6 \]
Trả lời
Hướng dẫn giải
Ta có: \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1\].
Suy ra \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C\]
Theo giả thiết \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \], suy ra \[\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3\]
Với \[C = 3\] thì \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} - 1} \]
Vậy \[f\left( 1 \right) = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \]
Chọn D.
