Cho hàm số \[\frac{1}{4}{x^2}\] có đồ thị (P) và I(0; 3).
a) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và đường thẳng y = 2x – 3.
b) Tính độ dài AB.
c) Tính diện tích tam giác OAB.
d) Tìm tọa độ điểm M trên (P) sao cho độ dài MI nhỏ nhất.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và y = 2x – 3 là: \[\frac{1}{4}{x^2} = 2x - 3\].
⇔ x2 – 8x + 12 = 0.
⇔ x = 6 hoặc x = 2.
Với x = 6, ta có: y = 2.6 – 3 = 9.
Suy ra tọa độ A(6; 9).
Với x = 2, ta có: y = 2.2 – 3 = 1.
Suy ra tọa độ B(2; 1).
Vậy A(6; 9) và B(2; 1).
b)
Ta có BC = 6 – 2 = 4, AC = 9 – 1 = 8.
Tam giác ABC vuông tại C: AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 42 = 80.
Suy ra \(AB = 4\sqrt 5 \).
c) Ta có OE = 2, BE = 1, AD = 9, OD = 6, DE = BC = 4.
Lại có:
⦁ \({S_{\Delta OAD}} = \frac{1}{2}OD.AD = \frac{1}{2}.6.9 = 27\);
⦁ \({S_{\Delta OBE}} = \frac{1}{2}OE.BE = \frac{1}{2}.2.1 = 1\);
⦁ \({S_{BEDA}} = \frac{{DE.\left( {BE + AD} \right)}}{2} = \frac{{4.\left( {1 + 9} \right)}}{2} = 20\).
Khi đó ta có SOAB = SOAD – SOBE – SBEDA = 27 – 1 – 20 = 6.
Vậy SOAB = 6 (đvS).
d) Do M ∈ (P) nên tọa độ M có dạng \(M\left( {m;\frac{{{m^2}}}{4}} \right)\).
Suy ra \(IM = \sqrt {{m^2} + {{\left( {\frac{{{m^2}}}{4} - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{{m^2}}}{4} - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{35}}{4}} \ge \frac{{\sqrt {35} }}{2}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \).
Với \(m = \sqrt 2 \), ta có tọa độ \(M\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\).
Với \(m = - \sqrt 2 \), ta có tọa độ \(M\left( { - \sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\).
Vậy \(M\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(M\left( { - \sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.