Cho hai số dương x; y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Chứng minh:

\({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\)

\({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} = {x^2} - \frac{{4{x^2} + 3y}}{{4xy}} \le {x^2} - \frac{{4{x^2} + 3y\left( {x + y} \right)}}{{4xy}}\)

\( \le {x^2} - \frac{{4{x^2} + 3xy + {y^2}}}{{4xy}} = {x^2} - \frac{{{x^2} + 3xy + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{4xy}}\)

\( \le {x^2} - \frac{{{x^2} + 3xy + 6xy}}{{4xy}} = {x^2} - \frac{{{x^2}}}{{4xy}} - \frac{9}{4}\)

\( \le {x^2} - \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} - \frac{9}{4} \le {x^2} - \frac{{{x^2}}}{1} - \frac{9}{4} = - \frac{9}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\) khi \(x = y = \frac{1}{2}\).