Cho hai hình hộp chữ nhật bằng nhau cùng có thể tích 200 cm³ và một hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm³ sắp xếp như trong hình bên (độ dài các cạnh hình hộp được tính bằng đơn vị cm). Viết các phân thức biểu thị độ dài (tính bằng cm) của các đoạn thẳng AC và DE.

Gọi y (cm) là độ dài đoạn thẳng DE. (y > 0).

Ta có: AB = DE + EF

Vì hình hộp chữ nhật 200 cm³ có diện tích đáy là: (x + 1)x (cm²), từ đó suy ra chiều cao EF = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)  (cm).

Vì hình hộp chữ nhật 500 cm³ có diện tích đáy là: (x + 2)x (cm²), từ đó suy ra chiều cao AB = \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) (cm).

Vì AB = DE + EF

Suy ra DE = AB – EF = \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) – \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right) - 200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{500x + 500 - 200x - 400}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{300x + 100}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).

Ta lại có:

CB = EF = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) (cm) (vì hai hình hộp chữ nhật bằng nhau có cùng thể tích 200 cm²).

AC = CB + AB = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) + \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right) + 200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{500x + 500 + 200x + 400}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{700x + 900}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).

Vậy phân thức biểu diễn độ dài độ dài các đoạn thẳng DE và AC là

DE =\(\frac{{300x + 100}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (cm) và AC = \(\frac{{700x + 900}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (cm).