Cho G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{a}^2$               

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}{a}^2$        

Đáp án C.

Dựa vào đáp án ta có nhận xét: Xác định góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{A}$ nên

$\widehat{\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)}={60}^0\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.{\text{cos60}}^0=\frac{1}{2}{a}^2.$

Tương tự ta cũng xác định $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc C nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.c\text{os}\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.{\text{cos120}}^0=-\frac{1}{2}{a}^2.$

Xác định góc của $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\widehat{AGB}={120}^0$ do đó

$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.c\text{os}\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.{\text{cos120}}^0=-\frac{1}{6}{a}^2.$

Tương tự cho ý đáp án D, ta ra kết quả là $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}{a}^2.$