Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm C di động trên đoạn AB.

Trả lời

a) Ta thấy MEC và MFC là các tam giác vuông chung cạnh huyền MC nên MECF nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Dễ thấy MECF là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông) nên $\widehat{\text{CEF}}\text{=}\widehat{\text{ECM}}$

Lại có $\widehat{\text{IEC}}\text{=}\widehat{\text{ICE}}\Rightarrow \widehat{\text{IEF}}\text{=}\widehat{\text{MCA}}{\text{=90}}^{\text{o}}$

Hoàn toàn tương tự FE là tiếp tuyến đường tròn (K). Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

b) MECF là hình chữ nhật nên EF = MC.

Do EI và FK cùng vuông góc với EF nên IEFK là hình thang vuông.

$\Rightarrow {\text{S}}_{\text{IEFK}}\text{=}\frac{\left(\text{EI+FK}\right)\text{.EF}}{\text{2}}\text{=}\frac{\left(\text{IC+CK}\right)\text{.MC}}{\text{2}}\text{=}\frac{\text{IK.MC}}{\text{2}}\text{=}\frac{\frac{\text{AB}}{\text{2}}\text{.MC}}{\text{2}}\text{=MC}\le \text{MH}$ với H là điểm chính giữa cung AB.

Vậy để diện tích IEFK lớn nhất thì C nằm chính giữa cung AB. Khi đó 

${\text{S}}_{\text{IEFK}}\text{=2}\left({\text{cm}}^{\text{2}}\right)$

c) Ta thấy $\widehat{\text{MPF}}\text{=}\widehat{\text{MCF}}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF) _{$=\widehat{\text{MBN}}$} (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung CF)

$\Rightarrow \text{ΔMPF ~ ΔMBN}\left(\text{g - g}\right)$

d) Do $\text{ΔMPF ~ ΔMBN}\Rightarrow \widehat{\text{MFP}}\text{ =}\widehat{\text{ MNB}}$

Mà $\widehat{\text{MFP }}\text{=}\widehat{\text{ MEP}}\Rightarrow \widehat{\text{PNA}}\text{ =}\widehat{\text{ MEP}}$ hay NPEA là tứ giác nội tiếp.

Tương tự PFBN cũng là tứ giác nội tiếp.

Vậy thì ta có: $\widehat{\text{PNE}}\text{ = }\widehat{\text{PAE}}\text{ =}\widehat{\text{ PBM}}\text{ =}\widehat{\text{ PNF}}$

Hay N, E, F thẳng hàng.