Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài (O). Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm. Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) Chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
a) Ta có BD, MD là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra DB = DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Chứng minh tương tự, ta được ME = CE và AB = AC.
Ta có chu vi tam giác ADE là: AD + DE + EA = AD + DM + ME + AE
= AD + DB + CE + AE = AB + AC = 2AB.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có , MD là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {MOE} = \frac{1}{2}\widehat {MOC}\).
Ta có \(\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {MOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOM} + \frac{1}{2}\widehat {MOC} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {BOM} + \widehat {MOC}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.