a) Vì D thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \).

Suy ra BD ⊥ AC.

Ta có AB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm.

Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường cao: AB² = AD.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy BD vuông góc AC và AB² = AD.AC.

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC (do BC là đường kính của (O)) và OH // CE (giả thiết).

Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BEC.

Vậy H là trung điểm của BE.

Vì E thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \).

Suy ra BE ⊥ CE.

Mà CE // OH (giả thiết).

Do đó OH ⊥ BE hay AH ⊥ BE.

Tam giác ABE có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Suy ra tam giác ABE cân tại A.

Do đó AB = AE.

Xét ∆ABO và ∆AEO, có:

AO chung;

AB = AE (chứng minh trên);

OB = OE (= R).

Do đó ∆ABO = ∆AEO (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AEO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).

Vậy AE là tiếp tuyến của (O).

c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao: OB² = OH.OA (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra OC² = OH.OA.

Xét ∆OHC và ∆OCA, có:

\(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) (OC² = OH.OA);

\(\widehat {COH}\) chung.

Do đó  (c.g.c).

Vậy \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\) (cặp góc tương ứng).

d) Ta có \(\widehat {OCF} = \widehat {FCE}\,\,\left( { = \widehat {OFC}} \right)\).

Lại có \(\widehat {OCH} = \widehat {ACE}\,\,\left( { = \widehat {OAC}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {HCF} = \widehat {FCA}\).

Khi đó CF là tia phân giác của \(\widehat {HCA}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác HCA, ta được: \(\frac{{HF}}{{FA}} = \frac{{HC}}{{CA}}\).

Vậy FA.CH = HF.CA (điều phải chứng minh).