Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Tính diện tích giới hạn bởi 2 tiếp tuyến AM, MB và cung nhỏ AB.
A. \[\frac{\pi }{3}{R^2}\];
B. \[\sqrt 3 {R^2}\];
C. \[{R^2}\left( {\sqrt 3 + \frac{\pi }{3}} \right)\];
D. \[{R^2}\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Xét DOAM có \[AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}} = R\sqrt 3 \Rightarrow {S_{OAM}} = \frac{{OA.AB}}{2} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\]
Mà DOAM = DOBM (c.c.c) nên SOAMB = 2SOAM = \[\sqrt 3 {R^2}\]
Xét DOAM có \[\cos \widehat {AOM} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{1}{2}\]
Þ \[\widehat {AOM} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = 120^\circ \].
Diện tích quạt tròn Sq AB = \[\frac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}\].
Diện tích giới hạn bởi 2 tiếp tuyến AM, MB và cung nhỏ AB là:
S = SOAMB - Sq AB = \[\sqrt 3 {R^2} - \frac{{\pi {R^2}}}{3} = {R^2}\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\].
Đáp án cần chọn là D