a) Do ME, MF là hai tiếp tuyến của (O) nên ME = MF.
Khi đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF (1)
Lại có OE = OF = R.
Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn EF (2)
Từ (1), (2), suy ra OM là đường trung trực của đoạn EF.
Do đó OM ⊥ EF.
Ta có \[\widehat {MHB} + \widehat {MAB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].
Vậy tứ giác ABHM nội tiếp đường tròn đường kính MB.
b) Xét ∆OHB và ∆OAM, có:
\(\widehat {HOB}\) chung;
\(\widehat {OHB} = \widehat {OAM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OM}}\).
Vì vậy OH.OM = OA.OB (3)
Tam giác OEM vuông tại E có EH là đường cao:
OE2 = OH.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
⇔ R2 = OH.OM (4)
Từ (3), (4), ta thu được OA.OB = OH.OM = R2.
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O).
Ta có \(\widehat {MFI} = \widehat {FEI}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI) (5)
Do EF ⊥ OM nên .
Suy ra \(\widehat {FEI} = \widehat {EFI}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (6)
Từ (5), (6), suy ra \(\widehat {MFI} = \widehat {EFI}\).
Do đó FI là tia phân giác của \(\widehat {MFE}\).
Tam giác MEF cân tại M có MH là đường trung trực.
Suy ra MH cũng là đường phân giác của tam giác MEF.
Ta có I là giao điểm của hai đường phân giác FI, MH của tam giác MEF.
Khi đó I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Ta có \({S_{\Delta HBO}} = \frac{1}{2}OH.HB\).
Ta có (chứng minh trên).
Suy ra \(\frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{OM}}\).
Do đó HB.OM = AM.OB (7)
Lại có OH.OM = R2 (kết quả câu b) (8)
Nhân (7) và (8) vế theo vế, ta được: \(OH.HB.O{M^2} = {R^2}.AM.OB = {R^2}.AM.\frac{{{R^2}}}{{OA}}\).
\( \Rightarrow OH.HB = AM.\frac{{{R^4}}}{{OA.O{M^2}}} = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: OA2 + AM2 ≥ 2OA.AM.
Khi đó ta có \(OH.HB = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}} \le {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.2.OA.AM}} = \frac{{{R^4}}}{{2O{A^2}}}\).
Suy ra \({S_{\Delta HBO}} \le \frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\).
Dấu “=” xảy ra ⇔ OA = AM.
Vì vậy diện tích tam giác HBO lớn nhất bằng \(\frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\) khi và chỉ khi OA = OM.
Vậy M là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho OA = OM thì diện tích tam giác HBO lớn nhất.