Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thảng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M. Chứng minh: MN là tiếp tuyến của đường tròn.
Do AB là tiếp tuyến của (O)
Þ OB ^ AB
Mà OB ^ ON
Þ AB // ON (từ vuông góc suy ra song song) hay AM // ON
Chứng minh tương tự
Þ AN // OM
Do 2 tiếp tuyến AB và AC cắt nhau tại A
Þ OA phân giác góc BAC (tính chất tiếp tuyến) hay OA phân giác góc \[\widehat {MAN}\]
Xét tứ giác AMON có: AM // ON, AN // OM, OA phân giác góc \[\widehat {MAN}\]
Þ AMON là hình thoi
Đặt I là trung điểm OA
Þ \[OI = \frac{{OA}}{2} = \frac{{2R}}{2} = R\]hay OI là bán kính của (O)
Do AMON là hình thoi
Þ OA vuông góc với MN tại I (t/c) hay OI vuông góc với MN tại I
Mà OI là bán kính của (O)
Þ MN là tiếp tuyến của (O)
Vậy MN là tiếp tuyến của (O).