Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, với đường tròn (O) (A là tiếp điểm). Qua C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H.
a) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp.
b) Chứng minh: AC.AE = AD.CE.
c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: AM // BN.
a) Ta có: \(\widehat {CAB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \) ⇒ \(\widehat {CAB} + \widehat {OHC} = 180^\circ \).
Do đó tứ giác AHOC nội tiếp.
b) Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta ECA\) có:
\(\widehat {CAD} = \widehat {AEC}\)
\(\widehat {ACE}\) chung
Do đó ∆ACD ᔕ ∆ECA (g.g)
Suy ra \(\frac{{CA}}{{CE}} = \frac{{AD}}{{AE}}\) hay AC.AE = AD.CE.
c) Từ E kẻ đường thẳng song song với MN cắt AB tại I và BD tại F
⇒ \(\widehat {HEI} = \widehat {HCO}\)
Vì tứ giác AOHC nội tiếp ⇒ \(\widehat {HAO} = \widehat {HCO} = \widehat {HEI}\)
Suy ra tứ giác AHIE nội tiếp
⇒ \(\widehat {IHE} = \widehat {IAE} = \widehat {BDE}\)
⇒ IH // BD
mà H là trung điểm của DE
⇒ I là trung điểm của EF
⇒ EF // MN và IE = IF
⇒ O là trung điểm của MN
⇒ Tứ giác AMBN là hình bình hành
⇒ AM // BN (đpcm)