Cho đường thẳng ∆: x = 4+t; y = -1+2t  và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆

Bài 31 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=-1+2t\end{array}\right.$  và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho  $AM=\sqrt{17}$

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất.

Trả lời

a) Do M nằm trên ∆ nên M(4 + t; -1 + 2t).

Suy ra  $\overrightarrow{AM}=\left(4+t-2;-1+2t-1\right)=\left(2+t;-2+2t\right)$

Mà    $AM=\sqrt{17}\iff \sqrt{{\left(2+t\right)}^2+{\left(-2+2t\right)}^2}=\sqrt{17}$

$\iff 5t^2-4t-9=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{9}{5}\\ t=-1\end{array}\right.$ 

Vậy M $\left(\frac{29}{5};\frac{13}{5}\right)$ hoặc $M\left(3;-3\right)$ .

b) Do N nằm trên ∆ nên N(4 + m; -1 + 2m).

Suy ra $\overrightarrow{AN}=\left(4+m-2;-1+2m-1\right)=\left(2+m;-2+2m\right)$

AN ngắn nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của A lên ∆.

Khi đó $\overrightarrow{AN}$  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆:  $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$

Hay (2 + m). 1 + (-2 + 2m). 2 = 0

 $\iff m=\frac{2}{5}$

Suy ra  $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$.

Vậy  $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic